Modelarea dinamică a transmisiilor cu roţi dinţate (I)

Transmisii Mecanice

de Zoltan Korka

Modelarea dinamică a transmisiilor cu roţi dinţate (I)

Roţile dinţate fac parte din categoria componentelor critice ale unei maşini rotative, fiind disponibilă o cantitate însemnată de literatură în domeniul modelării.

1. Scurt istoric al modelelor dezvoltate pentru studiul dinamic al transmisiilor cu roţi dinţate

Obiectivele modelării dinamice a transmisiilor cu roţi dinţate au variat în ultimele cinci decenii de la analiza vibraţiilor şi controlarea zgomotului, la studiul erorii de transmisie (transmission error - TE se defineşte ca fiind diferenţa dintre poziţia actuală a roţii dinţate şi poziţia ocupată de roată dacă transmisia mişcării s-ar realiza perfect) şi analizele de stabilitate. Scopurile finale ale modelării roţilor dinţate ar putea fi sintetizate după cum urmează:

  • analiza solicitărilor de contact şi încovoiere;
  • reducerea uzurilor superficiale, cum ar fi pittingul;
  • studiul randamentului transmisiei; nn studiul zgomotului radiat;
  • influenţa asupra celorlalte elemente ale transmisiei, în special a rulmenţilor;
  • frecvenţele naturale ale sistemului;
  • nn studiul mişcării vibratoare a sistemului;
  • nn studii de fiabilitate şi durată de viaţă.

Modelele propuse de diverşii investigatori arată variaţii considerabile, nu numai ale efectelor, ci şi ale ipotezelor asumate. Chiar dacă este destul de dificilă o grupare a modelelor dezvoltate pentru studiul dinamic al roţilor dinţate, Ozguven şi Houser au încercat în 1988 [33] să realizeze o clasificare a acestor modele dinamice.

În 1990, Houser [13] şi Zakrajsek [52] au prezentat proiectele de cercetare în domeniul dinamicii şi zgomotului roţilor dinţate, derulate în cadrul laboratorului de cercetare al universităţii statului Ohio, respectiv al centrului de cercetare Lewis din cadrul NASA. De asemenea, Du [8] a realizat, în 1997, o clasificare pe grupe a diverselor modele dinamice ale transmisiei cu roţi dinţate.

Wang J. [48] a realizat, în 2003, următoarea clasificare a modelelor dinamice a transmisiei cu roţi dinţate:

  • Modele bazate pe analiza dintelui. Există un număr foarte mare de studii care includ rigiditatea danturii ca unic element potenţial de depozitare a energiei în cadrul sistemului. Acest grup include modele cu un singur dinte şi modele cu o pereche de dinţi. Pentru modelele cu un singur dinte, obiectivul este, de obicei, analiza încărcării dintelui, în timp ce modelele cu o pereche de dinţi se focusează de cele mai multe ori pe studiul solicitărilor de contact şi pe analiza 6/2018 Tehnică şi Tehnologie 59 variaţiei rigidităţii angrenării. La aceste modele se neglijează influenţa arborilor şi a lagărelor, sistemul fiind, în general, modelat cu un singur grad de libertate, gen masă-resort. Unele modele s-au analizat utilizând şi metoda elementului finit (FEM).
  • Modele pentru studiul dinamicii transmisiei cu roţi dinţate. Aceste modele iau în seamă, pe lângă dinţii aflaţi în angrenare, şi alte elemente, ca, de exemplu, rigiditatea arborilor şi a lagărelor.
  • Modele care includ reductorul ca ansamblu. Studiile din această grupă de modele sunt considerate a fi cele mai avansate, toate elementele sistemului, inclusiv carcasa, fiind luate în seamă la elaborarea modelului matematic, indiferent de câte trepte are transmisia cu roţi dinţate.

În rezolvarea sistemului de ecuaţii se folosesc diverse tehnici numerice: de la sisteme continue sau modele cu element finit, la programe de calcul în cazul modelelor neliniare.

În anumite studii, obiectivul principal a fost determinarea frecvenţelor naturale ale sistemului şi pentru aceasta s-au făcut doar analize ale vibraţiei libere. Uzual, se analizează răspunsul dinamic al sistemului în cazul aplicării unei excitaţii definite. În cele mai multe cercetări se determină răspunsul sistemului ca urmare a erorilor de angrenare sau a excitaţiei parametrice produse de variaţia rigidităţii de-a lungul angrenării. Modelele construite în acest sens asigură fie o analiză a vibraţiei tranzitorii, fie o analiză a vibraţiei armonice, pe baza determinării iniţiale a seriilor Fourier ale excitaţiei. Există şi studii care includ efectul neliniar cauzat de pierderea contactului pe parcursul angrenării dinţilor sau al frecării dintre dinţii aflaţi în angrenare. Excitaţia este asumată ca urmare a încărcării de impact, făcându-se în acest caz o analiză tranzitorie de vibraţii.

2. Modele bazate pe analiza dintelui

Caracteristica de bază a modelelor dinamice din această grupă este faptul că singura analiză ce se face are în vedere doar dintele roţii, celelalte elemente considerându-se a fi perfect rigide. Modelele sunt cu un singur dinte sau cu o pereche de dinţi aflaţi în angrenare. În cazul modelelor cu un singur dinte, obiectivele privesc cel mai adesea studiul încărcării dintelui. Modelele cu o pereche de dinţi se focusează cel mai adesea pe studiul solicitării de contact şi pe analiza variaţiei rigidităţii. Modelele care rezultă sunt fie de translaţie, fie torsionale. Modelele torsionale studiază vibraţiile dinţilor aflaţi în angrenare, în timp ce la modelele de translaţie dintele este asimilat cu o grindă încastrată la care se studiază vibraţiile forţate. La ambele modele, excitaţia care reprezintă eroarea de transmisie este simulată printr-o deplasare la nivelul angrenării.

În 1956, Nakada şi Utagawa [30] au ţinut seamă în modelul lor de variaţia elasticităţii dintelui omolog, reducând vibraţia perechii de roţi dinţate la un sistem liniar echivalent. Variaţia în timp a rigidităţii angrenării a fost aproximată cu o undă rectangulară, obţinându-se soluţii apropiate ale ecuaţiilor exponenţiale liniare pentru diverse cazuri de amortizare, la cercetările efectuate pe danturi cu profile exact prelucrate.

Un alt model echivalent de masă şi arc a fost introdus de Zeman [53], în 1957. El a neglijat variaţia rigidităţii angrenării şi a analizat efectele de tranziţie ale profilelor cu eroare periodică.

Lucrarea din 1958 a lui Harris [12] a fost o contribuţie importantă în care s-a cercetat eroarea de transmisie în trenurile de roţi dinţate, utilizânduse modele de roţi fotoelastice. În modelul lui cu un singur grad de libertate, el a considerat trei surse interne ale vibraţiei: erorile de fabricaţie, variaţia rigidităţii dinţilor şi neliniaritatea rigidităţii dintelui, ca urmare a pierderii contactului. Excitaţia a fost tratată ca fiind periodică, utilizându-se pentru soluţionare o tehnică grafică (phase - plane technique). Se pare că Harris a fost primul care a scos în evidenţă importanţa erorii de transmitere, arătând că, în cazul roţilor dinţate cu viteză redusă, comportamentul lor poate fi sintetizat printr-un set de curbe de eroare de transmitere statică. De asemenea, el a fost primul care a anticipat instabilitatea dinamică apărută ca urmare a excitaţiei parametrice a dinţilor aflaţi în angrenare.

În 1963, Gregory şi colaboratorii [10, 11] au continuat cercetările teoretice ale lui Harris [12] şi le-au comparat cu rezultate experimentale. Ei au asimilat, în modelul lor matematic, variaţia rigidităţii angrenării cu o sinusoidă, au tratat excitaţia ca fiind periodică şi au rezolvat ecuaţiile de mişcare, considerând alternativ amortizarea ca fiind zero şi nenulă. Rezultatele experimentale şi cele ale simulării numerice au confirmat dezbaterea lui Harris, potrivit căreia efectele neliniare devin semnificative atunci când amortizarea depăşeşte valoarea critică. S-a concluzionat că atunci când amortizarea este puternică, se poate utiliza modelul matematic simplu al vibraţiei liniare amortizate.

Aida şi colaboratorii [1, 2, 3] au prezentat şi ei, în perioada 1967-1969, alte exemple de cercetări din acest domeniu. Ei au modelat vibraţia roţilor dinţate, considerând ca sursă de excitaţie erorile de profil, erorile de divizare şi variaţia rigidităţii angrenării. Rigiditatea variabilă în timp şi erorile de execuţie s-au considerat ca fiind periodice, modelul fiind folosit pentru determinarea zonelor de stabilitate a vibraţiilor roţilor dinţate. S-a făcut, de asemenea, o comparaţie cu măsurătorile experimentale.

Rollinger şi Harker [37] au investigat, în 1967, instabilitatea dinamică şi care ar putea apărea ca urmare a variaţiei rigidităţii angrenării. Ei au utilizat un model cu un singur grad de libertate, cu o masă echivalentă a inerţiilor pinionului şi roţii. Variaţia rigidităţii angrenării a fost asumată ca armonică. Soluţiile ecuaţiilor de mişcare rezultate, obţinute cu ajutorul unui calculator analog, au arătat că încărcarea dinamică poate fi redusă prin creşterea amortizării dintre dinţii aflaţi în angrenare sau prin reducerea variaţiei rigidităţii.

Tot în 1967, Tordion şi Geraldin [42] au folosit un sistem dinamic echivalent, cu un singur grad de libertate, pentru determinarea erorilor de transmitere din măsurători experimentale ale vibraţiilor torsionale. Au construit în primă fază un model torsional cu mai multe grade de libertate pentru un sistem general de rotaţie cu roţi dinţate. Apoi, numai ecuaţiile roţilor au fost considerate pentru obţinerea modelului echivalent cu un singur grad de libertate, cu rigiditate constantă şi o deplasare de excitaţie reprezentată de eroarea de transmitere. S-a propus ▶ ca eroarea de transmitere să fie folosită ca un nou concept pentru determinarea calităţii roţilor, în locul erorilor individuale.

În 1973, Wallace şi Seireg [46] au folosit pentru un singur dinte metoda cu element finit pentru a analiza tensiunile, deformaţiile şi fisurarea unui dinte supus la încărcări dinamice. S-au aplicat impulsuri de forţă în diferite puncte ale suprafeţei dintelui, studiindu-se modul de variaţie al forţei normale pe profilul dintelui. În acelaşi an, Wilcox şi Coleman [51] au analizat, de asemenea, tensiunea la piciorul dintelui, dezvoltând o nouă formulă exactă de calcul a solicitării, bazată exclusiv pe metoda elementului finit. Au prezentat, de asemenea, o comparaţie între formula nouă şi cea anterioară.

Remers [36] a prezentat, în 1978, un model de vibraţie amortizată, în care eroarea de transmitere a fost reprezentată cu ajutorul unei serii Fourier. El a presupus amortizarea vâscoasă, rigiditatea perechii de dinţi constantă şi a considerat efectele erorilor de deplasare, de încărcare şi ale modificărilor de profil.

 

Rebbechi şi Crisp [35] au construit, în 1983, pentru studiul vibraţiilor torsionale ale perechii de roţi dinţate, un model cu trei grade de libertate, pe care l-au redus la unul cu două grade de libertate. Modelul lor a ţinut seamă de efectul de amortizarea al dinţilor, de perturbaţiile momentelor de torsiune de la intrare şi de la ieşire şi de abaterile de la cercul de bază ca urmare a erorilor de profil.

În 1985, Wang [47] a elaborat un model de studiu al vibraţiilor torsionale. Cercetările lui s-au concentrat pe evaluarea factorilor dinamici la roţi dinţate rigide, evaluându-se influenţa erorii de transmitere asupra încărcării dinamice.

La sfârşitul anilor ’80, Ramamurti şi Rao [34] au prezentat un nou mod de abordare al analizei tensiunilor la roţile dinţate, utilizând metoda elementului finit. Noutatea propusă, cu un sistem ciclic de dinţi încărcaţi asimetric, a permis, analizând un singur dinte, să se calculeze electronic distribuţia de tensiuni din dinţii adiacenţi acestuia. Condiţiile de limită, impuse de metoda convenţională cu elemente finite, între doi dinţi adiacenţi, au fost evitate în abordarea lor.

În 1988, Vijayaker, Busby şi Houser [44] au impus condiţiile de contact prin frecare la modelul cu elemente finite, utilizând un algoritm de tip simplex. Ei au stabilit ecuaţiile de contact cu ajutorul coeficientului de frecare şi le-au rezolvat pentru momente de torsiune cunoscute la roata de ieşire. În metoda lor cu elemente finite, au analizat problema în două dimensiuni, utilizând un element de tranziţie liniar special cu cinci noduri, pentru a modela profilul evolventic cât mai exact cu putinţă. În acelaşi an, Ozguven şi Houser [32] au prezentat un model nonliniar al unui sistem cu un singur grad de libertate, pentru analiza dinamică a unei perechi de roţi dinţate. În studiile lor, ei au dezvoltat două metode de calcul a dinamicii angrenajului, a forţelor pe dinte rezultate din tensiuni şi a erorii dinamice de transmitere din eroarea de transmisie încărcată static şi obţinută prin măsurare sau prin calcul. Prima metodă este una exactă, care ţine seama atât de variaţia în timp a rigidităţii angrenajului, cât şi de amortizare. A doua metodă este una, mai degrabă, aproximativă, la care se foloseşte variaţia în timp a rigidităţii angrenării.

În 1990, Sandurajan şi Young [40] au dezvoltat o metodă cu elemente finite în trei dimensiuni, pentru îmbunătăţirea preciziei de calcul a solicitărilor de contact şi de la piciorul dintelui, la roţi dinţate de dimensiuni mari. Analiza cu element finit şi softul de preprocesare dezvoltate au simplificat introducerea datelor şi efortul manual implicat de analiză. La schimbarea anumitor parametri, ca, de exemplu, dezalinierea, cele mai multe matrici de rigiditate nu au trebuit să fie recalculate. Ei au considerat problema contactului, utilizând condiţii-limită de contact, ceea ce a însemnat că aria de contact a fost definită în analiză. Un an mai târziu, Sundarajan şi Amin [39] au analizat cu metoda elementului finit o coroană dinţată, prezentând un alt program de calcul pentru soluţionarea acestei probleme.

Condiţiile de contact ale dinţilor sunt foarte sensibile la geometria suprafeţelor de contact, ceea ce înseamnă că reţeaua elementelor finite din apropierea zonei de contact trebuie să fie foarte rafinată. Cu toate astea, nu este recomandată o reţea fină în tot modelul, pentru a reduce, pe cât posibil, volumul de calcul.

Vijayaker şi Houser [45] au analizat, în 1993, contactul roţilor dinţate, combinând metodele cu element finit cu cea a suprafeţei integrale. Ei au dezvoltat un pachet de programe ce analizează contactul, putând realiza calcule de contururi de tensiune, erori de transmitere, distribuţia presiunii de contact şi calculul distribuţiei sarcinii. Abordarea lor s-a bazat pe presupunerea că dincolo de o anumită distanţă faţă de zona de contact, metoda cu element finit prezice deformaţiile, în timp ce metoda elastică a semispaţiului e exactă în predicţia deplasărilor relative în punctele din apropierea zonei de contact. Făcând aceste presupuneri, a fost posibilă predicţia deplasărilor suprafeţelor prin îmbinarea avantajoasă a metodei cu element finit, precum şi a metodei de abordare a suprafeţei integrale.

În 1994, Chen, Litvin şi Shabana [4] au propus o abordare nouă pentru simularea pe calculator a angrenării roţilor dinţate, care să permită determinarea elipsei instantanee de contact, a distribuţiei forţei pe suprafaţa de contact şi a amprentei reale. De asemenea, au stabilit o metodă cu element finit pentru calculul tensiunii maxime de încovoiere la un dinte. Forţele de frecare dintre dinţii roţilor, deformaţia elastică a corpului roţii şi încovoierea arborelui au fost neglijate în modelul propus de ei. (continuare în numărul următor)

Bibliografie

[1] Aida T. Fundamental Research on Gear Noise and Vibration I, Transaction of the Japanese Society of Mechanical Engineers 34: 2226- 2264, 1968

[2] Aida T. Fundamental Research on Gear Noise and Vibration II, Transaction of the Japanese Society of Mechanical Engineers 35: 2113- 2119, 1969

[3] Aida T. ş.a. Properties of Gear Noise and Its Generating Mechanism, Proceedings of the Japanese Society of Mechanical Engineers Semi- International Gearing Symposium, 1967

[4] Chen J., Litvin F. şi Shabana A. Computerised Simulation of Meshing and Contact of Loaded Gear Drives, International Gearing Conference, UK, 1994

[5] Choy F. ş.a. Effect of Gear Box Vibration and Mass Imbalance on the Dynamics of Multistage Gear Transmission, Journal of Vibration and Acoustics, 113: 333- 334, 1991

[6] Choy F. ş.a. Modal Analysis of Multistage Gear Systems Coupled with Gearbox Vibrations, Journal of Mechanical Design 114: 486- 496, 1992

Bibliografie integrală pe www.ttonline.ro


Accept cookie

www.ttonline.ro utilizează fişiere de tip cookie pentru a personaliza și îmbunătăți experiența ta pe Website-ul nostru.

Te informăm că ne-am actualizat politicile pentru a integra în acestea și în activitatea curentă a www.ttonline.ro cele mai recente modificări propuse de Regulamentul (UE) 2016/679 privind protecția persoanelor fizice în ceea ce privește prelucrarea datelor cu caracter personal și privind libera
circulație a acestor date. Înainte de a continua navigarea pe Website-ul nostru, te rugăm să aloci timpul necesar pentru a citi și înțelege conținutul Politicii de Cookie.

Prin continuarea navigării pe Website-ul nostru confirmi acceptarea utilizării fişierelor de tip cookie conform Politicii de Cookie. Îți mulțumim pentru acest accept și nu uita totuși că poți modifica în orice moment setările acestor fişiere cookie urmând instrucțiunile din Politica de Cookie.